Question

點P是為焦點的雙曲線上的一點，已知，，O為坐標原點。

（1）求雙曲線的離心率；

（2）過點P作直線分別與雙曲線兩漸近線相交于兩點，且，求雙曲線E的方程；

（3）若過點Q（m，0）（m為非零常數）的直線與（2）中的雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（為非零實數），問在軸上是否存在定點G使？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵，，

∴，

∵，∴，∴。

（2）由（1）知雙曲線的方程可設為，漸近線方程

設

 ∵，

∵

∵點P在雙曲線上，

∴

化簡得，∴，∴

∴雙曲線方程為。

（3）設在軸上存在定點G（t，0），使

①若直線軸，（確保直線與雙曲線E有兩個不同交點）

時，則有，且對軸上任一點G，

，

②若直線不垂直軸，設直線： ，，

聯立得

，

∵，

的充要條件為

由得，∴，

又∵，

∴

∴

∴

∴

∴

綜上，在軸上存在一點，使得。