Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，分別是的中點，求證：

（1）平面；

（2）；

（3）平面平面.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】試題分析: 1）根據線面垂直的判定定理即可證明C1M⊥平面AA1B1B；

（2）根據線面垂直的性質先證明A1B⊥平面AC1M，即可證明A1B⊥AM；

（3）根據面面平行的判定定理即可證明平面AC1M∥平面B1NC．

試題解析：

（1）證法一：由直三棱柱得

平面，

∵平面，

∴ ，

又∵，為的中點，

∴，

又∵，

∴平面.

證法二：由直三棱柱得

平面平面，且平面平面，

∵，為的中點，

∴，

又∵平面，

∴平面.

（2）由（1）知，平面

∵平面，

∴ ，

∵ ， ，

∴平面，

∵平面，

∴.

（3）證法一：由直三棱柱知，四邊形是矩形，

∵分別是的中點，

∴，且，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵平面，平面，

∴平面，

連接，則四邊形是矩形，

∴，且，

又∵，，

∴，且，

∴四邊形是矩形，

∴，

∵平面，平面，

∴平面

又∵，

∴平面平面.

證法二：由（2）知，平面，

∵平面，∴ ，

∵，∴ ，

∵平面，平面，

∴ ，

∵ ，

∴平面，

∴平面平面.

點睛: 垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.