Question

已知函數f（x）=x³-ax²-bx+a²，x∈R，a，b為常數．
（1）若函數f（x）在x=1處有極值10，求實數a，b的值；
（2）若a=0，
（I）方程f（x）=2在x∈[-4，4]上恰有3個不相等的實數解，求實數b的取值范圍；
（II）不等式f（x）+2b≥0對?x∈[1，4]恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數求導，由題意可得，f′（1）=0，f（1）=10，代入可求a，b
（2）（I）由題意f（x）-2=可得0，令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，對函數g（x）求導可得g’（x）=3x²-b，分類討論：分（ⅰ）若b≤0，（ⅱ）b＞0，兩種情況討論g（x）在[-4，4]上的單調性，結合單調性可求b
（II）法一：由已知整理可得（x-2）b≤x³，分類討論（ⅰ）若x-2=0（ⅱ）若x-2＜0（ⅲ）若x-2＞0三種情況，由恒成立轉化為求解函數相應的最值即可求解
法二：由已知可得x³-bx+2b≥0，構造函數T（x）=x³-bx+2b，通過討論函數T（x）的單調性可求函數T（x）在[1，4]上的最小值，通過恒成立與函數最值的相互轉化關系即可求解b的范圍

解答：解：（1）對函數求導可得，f′（x）=3x²-2ax-b
由題意可得，f′（1）=0，f（1）=10（2分）
∴3-2a-b=0，1-a-b+a²=10
∴a=3，b=-3或a=-4，b=11（4分）
經檢驗a=3，b=-3不合題意，舍去
∴a=-4，b=11（5分）
（2）（I）由f（x）=2，得f（x）-2=0，令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，
則方程g（x）=0在x∈[-4，4]上恰有3個不相等的實數解．
∵g’（x）=3x²-b，
（ⅰ）若b≤0，則g’（x）≥0恒成立，且函數g（x）不為常函數，
∴g（x）在區間[-4，4]上為增函數，不合題意，舍去．          （6分）
（ⅱ）若b＞0，則函數g（x）在區間（-∞，-

3b

3

）上為增函數，在區間（-

3b

3

，

3b

3

）上為減函數，在區間（

3b

3

，+∞）上為增函數，
由方程g（x）=0在x∈[-4，4]上恰有3個不相等的實數解，可得

g(-4)≤0 g(- b 3 )＞0 g( b 3 )＜0 g(4)≥0

（9分）
解得

b≤ 33 2 b＞3 b＞0 b≤ 31 2

∴b∈(3，

31

2

]（ （10分） ）
（II）法一：由不等式f（x）+2b≥0，得x³-bx+2b≥0，即（x-2）b≤x³，
（ⅰ）若x-2=0即x=2時，b∈R；   （11分）
（ⅱ）若x-2＜0即x∈[1，2）時，b≥在區間[1，2）上恒成立，令h（x）=，則b≥h（x）_max．
∵h’（x）=，
∴h’（x）＜0在x∈[1，2）上恒成立，所以h（x）在區間[1，2）上是減函數，
∴h（x）_max=h（1）=-1，
∴b≥-1．        （13分）
（ⅲ）若x-2＞0即x∈（2，4]時，b≤在區間（2，4]上恒成立，則b≤h（x）_min．
由（ⅱ）可知，函數h（x）在區間（2，3）上是減函數，在區間（3，4]上是增函數，
∴h（x）_min=h（3）=27，
∴b≤27  （15分）
綜上所述，b∈[-1，27]（16分）
法二：∵f（x）+2b≥0
∴x³-bx+2b≥0
設T（x）=x³-bx+2b，T′（x）=3x²-b（11分）
當b≤0時，T′（x）=3x²-b≥0，T（x）在[1，4]上為增函數，T（x）_min=T（1）=1+b，所以1+b≥0，-1≤b≤0（12分）
當b＞0時，T（x）在區間（-∞，-

b 3

）上為增函數，在區間（-

b 3

，

b 3

）上為減函數，在區間（

b 3

，+∞）上為增函數，
若

b 3

≤1，即0＜b≤3時，T（x）在[1，4]上為增函數，T（x）_min=T（1）=1+b
所以1+b≥0，0＜b≤3（13分）
若1＜

b 3

＜4時，3＜b＜48時，T（x）在[1，

b 3

]上為減函數，在[

b 3

，4]上為增函數，
所以T(x)min=T(

b 3

)≥0，得3＜b≤27（14分）
若

b 3

≥4時，即b≥48時，T（x）在[1，4]上為減函數，T（x）_min=T（4）=64-2b≥0，
得b≤32，舍去．  （15分）
故b的取值范圍是[-1，27]（16分）

點評：本題主要考查了利用函數的導數研究函數的單調性，函數的極值與最值的求解及函數的恒成立與函數的最值的相互轉化關系的應用．