Question

【題目】已知兩矩形ABCD與ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，若將△DEF沿直線FD翻折，使得點E落在邊BC上（即點P），則當AD取最小值時，邊AF的長是；此時四面體F﹣ADP的外接球的半徑是 ．

Answer 1

【答案】；
【解析】解：設FA=x（x＞1），AD=y，
∵矩形ABCD與矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，
∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x
在Rt△DCP中，PC=
在Rt△FAP中，AP=
在Rt△ABP中，BP=
∵BC=BP+PC= + =y
整理得y2= ，令x2=
則y2= ，
則當t= ，即x= 時，y取最小值2．
四面體F﹣ADP的外接球的球心為DF的中點，DF= = ，四面體F﹣ADP的外接球的半徑是 ．
故答案為： ， ．
由已知中矩形ABCD與矩形ADEF所在的平面互相垂直，將△DEF沿FD翻折，翻折后的點E恰與BC上的點P重合．設AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，我們利用勾股定理分別求出BP，PC，根據BC=BP+PC，可以得到 x，y的關系式，利用換元法結合二次函數的性質，可得答案．四面體F﹣ADP的外接球的球心為DF的中點，即可求出四面體F﹣ADP的外接球的半徑．