Question

（本題滿分14分）

已知函數,,和直線： .

又. 

(1)求的值；

(2)是否存在的值，使直線既是曲線的切線，又是的切線；如果存在，求出k的值；如果不存在,說明理由.

(3)如果對于所有的,都有成立，求k的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）=－2.

（2）

(3)

【解析】解：（1）,因為所以=－2.   …………2分

  (2)因為直線恒過點（0，9）.先求直線是 的切線.

設切點為, …………3分

∵.∴切線方程為,

將點（0，9）代入得.

當時，切線方程為=9, 當時，切線方程為=.

由得，即有

當時，的切線，

當時， 的切線方程為…………6分

 是公切線，又由得或，

當時的切線為，當時的切線為，

，不是公切線， 綜上所述 時是兩曲線的公切線  ……7分

 (3).（1）得，當，不等式恒成立，.

當時，不等式為，……8分

 

而

當時，不等式為， 

當時,恒成立，則          …………10分

（2）由得

當時，恒成立，，當時有 

設=，

當時為增函數，也為增函數

要使在上恒成立，則         …………12分

由上述過程只要考慮，則當時=

在時，在時

在時有極大值即在上的最大值，…………13分

又，即而當,時，

一定成立，綜上所述.    …………14分