Question

（本題滿分為12分）
已知函數的圖像過坐標原點，且在點處的切線的斜率是．
（1）求實數的值；
（2）求在區間上的最大值；
（3）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊的中點在軸上？請說明理由．

Answer 1

（1）（2）當，即時，在上的最大值為2；當，即時，在上的最大值為 ．（3）存在。

解析試題分析：解：
（I）當時，則． （1分）
依題意，得 即，解得．    （3分）
（II）由（1）知，
①當時
令得或                                     （4分）
當變化時的變化情況如下表：

		0			（）
	-	0	+	0	-
	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

 
又
所以在上的最大值為．                                   （6分）
②當時，