Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，下面結論錯誤的是（　　）

A．BD∥平面CB₁D₁

B．AC₁⊥BD

C．AC₁⊥平面CB₁D₁

D．sin2∠BAC1+sin2∠A1AC1+sin2∠DAC1=1

Answer 1

分析：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，根據BD∥B₁D₁，判斷BD與平面CB₁D₁的關系；連接AC，根據AC⊥BD，CC₁⊥BD，判斷AC₁和BD的位置關系；根據AC₁⊥B₁D₁，B₁C⊥AC₁，判斷AC₁與平面CB₁D₁的關系；根據sin²∠BAC₁+sin²∠A₁AC₁+sin²∠DAC₁=2，判斷D的正誤．

解答：解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵BD∥B₁D₁，BD?平面CB₁D₁，B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴BD∥平面CB₁D₁，故A正確；
連接AC，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴AC⊥BD，CC₁⊥BD，
∴BD⊥平面ACC₁，
∵AC₁?平面ACC₁，∴AC₁⊥BD，故B正確；
∵AC₁⊥BD，B₁D₁∥BD，
∴AC₁⊥B₁D₁，
連接BC₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴BC₁⊥B₁C，B₁C⊥AB，
∴B₁C⊥平面ABC₁，
∵AC₁?平面ABC₁，∴B₁C⊥AC₁，
∴AC₁⊥平面CB₁D₁，故C正確；
∵sin∠BAC₁=

BC1

AC1

，sin∠A₁AC₁=

A1C1

AC1

，sin∠DAC₁=

DC1

AC1

，
∴sin²∠BAC₁+sin²∠A₁AC₁+sin²∠DAC₁
=

BC12+A1C12+DC12

AC12

=

2(AA12+AD2+AB2)

AA12+AD2+AB2

=2．故D不正確．
故選D．

點評：本題考查棱柱的結構特征的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．