Question

【題目】已知函數，．

（1）當a＝1時，求：①函數在點P(1，)處的切線方程；②函數的單調區間和極值；

（2）若不等式恒成立，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）①切線方程；②單調遞增區間為，單調遞減區間為，極大值為，無極小值；（2）1

【解析】

（1）①a＝1時，f（x），f′（x），可得f′（1）＝1，又f（1）＝0．利用點斜式即可得出f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程．

②令f′（x）0，解得x＝e．通過列表可得函數f（x）的單調遞區間及其極值．

（2）由題意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立．令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）．g′（x）＝1．對a分類討論，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

（1）①，所以，又，

所以切線方程為，即.

②，得.

	+	0	-
	遞增	極大值	遞減

可得函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，極大值為，無極小值.

（2）由題意知，∴不等式恒成立，

即恒成立.

設，則有.

，

（Ⅰ）若，則在上單調遞增，

又，所以在上，不符合；

（Ⅱ）若，則在上，即單調遞增，

又，所以在上，不符合；

（Ⅲ）若，則在上，即單調遞增，在上，即單調遞減，

又，所以恒成立，符合；

（Ⅳ）若，則在上，即單調遞減，

又，所以在上，不符合.

綜上可得的值為1.