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【題目】已知橢圓：的左，右焦點分別為，，且經過點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過點作一條斜率不為的直線與橢圓相交于兩點，記點關于軸對稱的點為．證明：直線經過軸上一定點，并求出定點的坐標．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析，直線經過軸上定點，其坐標為

【解析】

（Ⅰ）由已知結合橢圓定義求得，再求得，則橢圓方程可求；（Ⅱ）由題意，設直線的方程為，再設，，，，則，．聯立直線方程與橢圓方程，化為關于的一元二次方程，求出所在直線方程，取求得值，即可證明直線經過軸上一定點，并求出定點的坐標．

解：（Ⅰ）由橢圓的定義，可知

.

解得.

又，

橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）由題意，設直線的方程為.

設，，則.

由，消去，可得.

，.

，.

，

直線的方程為.

令，可得.

..

直線經過軸上定點，其坐標為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若存在常數，使得無窮數列滿足，則稱數列為“Γ數列．已知數列為“Γ數列”．

（1）若數列中，，試求的值；

（2）若數列中，，記數列的前n項和為，若不等式對恒成立，求實數λ的取值范圍；

（3）若為等比數列，且首項為b，試寫出所有滿足條件的，并說明理由．

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【題目】在直角坐標平面內，直線l過點P(1，1)，且傾斜角α＝.以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的極坐標方程為ρ＝4sin θ.

(1)求圓C的直角坐標方程；

(2)設直線l與圓C交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值．

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【題目】在線段的兩端點各置一個光源，已知光源，的發光強度之比為，則線段上光照度最小的一點到，的距離之比為______（光學定律：點的光照度與到光源的距離的平方成反比，與光源的發光強度成正比）

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【題目】一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿可繞轉動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子在滑槽AB內作往復運動時，帶動繞轉動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）設動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

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【題目】設數列滿足：，（其中為非零實常數）.

（1）設，求證：數列是等差數列，并求出通項公式；

（2）設，記，求使得不等式成立的最小正整數；

（3）若，對于任意的正整數，均有，當、、依次成等比數列時，求、、的值.

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【題目】四色猜想是世界三大數學猜想之一，1976年數學家阿佩爾與哈肯證明，稱為四色定理.其內容是：“任意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家涂上不同的顏色.”用數學語言表示為“將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用，，，四個數字之一標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字.”如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗實線圍城的各區域上分別標有數字，，，的四色地圖符合四色定理，區域和區域標記的數字丟失.若在該四色地圖上隨機取一點，則恰好取在標記為的區域的概率所有可能值中，最大的是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），以原點O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）設P（0，-1），直線l與C的交點為M，N，線段MN的中點為Q，求.

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【題目】已知圓的方程為（x-1）2+（y-1）2=9，P（2，2）是該圓內一點，過點P的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積是______ ．

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