Question

（2008•咸安區模擬）兩家共同擁有一塊土地ABC，形狀是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=am，如果兩家人準備劃分一條分割線（直線段），使兩家所得土地相等，其中P，Q分別在線段AB，AC上．
（Ⅰ）如果準備在分割線上建造一堵墻，請問如何劃分割線，才能使造墻費用最少；
（Ⅱ）如果準備在分割線上栽種同一種果樹，請問如何劃分割線，才能使果樹的產量最大．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使造墻費用最少，即使PQ最短，利用分割后得面積相等，尋找等量關系，再利用基本不等式求PQ的最小值；
（Ⅱ）要使果樹的產量最大，即使PQ最長，利用分割后得面積相等，尋找等量關系，再利用函數的單調性求PQ的最大值

解答：解：設AQ=x，AP=y，S△APQ=

1

2

xysin45°=

2

4

xy，
又S△APQ=

1

2

S△ABC=

1

4

a2，∴xy=

2

2

a2．
PQ=

x2+y2-2xycos45°

=

x2+y2-a2

．
（Ⅰ）∵x2+y2≥2xy=

2

a2，
∴PQ≥

2 -1

 a，此時x=y，又xy=

2

2

a2， ∴x=y=

4 8

2

a．
即取AP=AQ=

4 8

2

am時，PQ的長最短，因而造墻費用最少．（6分）
（Ⅱ）∵y≤

2

a，∴x≥

1

2

a，又x≤a，
∴

1

2

a≤x≤a，由xy=

2

2

a2得y=

2 a2

2x

．
考察函數u=x2+y2=x2+

a4

2x2

，得當x∈[

1

2

a，

4 8

2

a]時，函數遞增，
當x∈[

4 8

2

a，a]時，函數遞減，所以函數的最大值umax=

9

4

a2，此時x=

1

2

a．
故當P取在B點，Q取在AC的中點處時，PQ最長，因而果樹的產量最大．（12分）

點評：本題主要考查函數模型的建立及最值的求解，正確理解題意，等價轉化是關鍵．