Question

【題目】某食品廠定期購買面粉．已知該廠每天需用面粉6t，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元．
（1）求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？
（2）若提供面粉的公司規定：當一次購買面粉不少于210t時，其價格可享受9折優惠（即原價的90%），問該廠是否考慮利用此優惠條件？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設該廠應每x天購買一次面粉，其購買量為6xt，由題意知，面粉的保管等其他費用為3[6x+6（x﹣1）+…+6×2+6×1]=9x（x+1）．

設平均每天所支付的總費用為y1元，則y1= [9x（x+1）+900]+6×1800

= +9x+10809≥2 +10809

=10989．

當且僅當9x= ，即x=10時取等號，

即該廠應每10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少

（2）解：若廠家利用此優惠條件，則至少每隔35天，購買一次面粉，平均每天支付的總費用為y2元，則

y2= [9x（x+1）+900]+6×1800×0.90

= +9x+9729（x≥35）．

令f（x）=x+ （x≥35），

x2＞x1≥35，則

f（x1）﹣f（x2）=（x1+ ）﹣（x2+ ）

=

∵x2＞x1≥35，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，100﹣x1x2＜0．

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），

即f（x）=x+ ，當x≥35時為增函數．

∴當x=35時，f（x）有最小值，此時y2＜10989．∴該廠應該接受此優惠條件

【解析】（1）每天所支付的費用是每x天購買粉的費用與保存面粉的費用及每次支付運費和的平均數，故可以設x天購買一次面粉，將平均數表示成x的函數，根據所得的函數的具體形式求其最小值即可．（2）每天費用計算的方式與（1）相同，故設隔x天購買一次面粉，將每天的費用表示成x的函數，由于此時等號成立的條件不具備，故本題最值需要通過函數的單調性來探究．本題中函數的單調性的證明用定義法證明，獲知其單調性后利用單調性求出最小值，然后用函數的最小值與（1）中的最小值對比，若比其小，則可利用此優惠條件，否則仍采用原來方案．