Question

【題目】已知斜率存在且不為0的直線過點，設直線與橢圓交于兩點，橢圓的左頂點為.

（1）若的面積為，求直線的方程；

（2）若直線分別交直線于點，且，記直線的斜率分別為.探究：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或. （2）是，定值為

【解析】

（1）設，，設直線，根據題意求出,由求出, 聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理求出即可；

（2）設直線的方程為：與橢圓方程聯立得到關于的一元二次方程，設，，利用韋達定理求出，利用點斜式求出直線的方程，進而求出點坐標，利用平面向量坐標表示求出的表達式，代入斜率公式求出直線的斜率即可求解.

（1）設，,

因為，橢圓的左頂點為，所以，

故，

故，

設直線，代入橢圓的方程中，整理得，

所以，，

故，

解得，，

故直線的方程為或.

（2）由題意得，設直線的方程為：，

與橢圓方程聯立可得，

整理得，

設，，

則①，②，

又，所以直線的方程為，

令，解得，

同理可得，，設，

所以，

因為，所以，，

將①②代入上式并化簡可得，

所以直線的斜率為，

故，為定值.