Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一點與橢圓右焦點的連線垂直于軸．

（1）求橢圓的方程；

（2）與拋物線相切于第一象限的直線，與橢圓交于，兩點，與軸交于點，線段的垂直平分線與軸交于點，求直線斜率的最小值．

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

試題分析：(1)因為軸,所以點代入方程得:,又,可得方程；(2)設切點為,因為,對求導,,所以切線斜率為,所以切線方程為:,與橢圓聯立,寫出韋達定理,可求出的中點坐標,進而寫出中垂線的方程,得到點坐標,根據的坐標寫出用表示,利用基本不等式放縮即可求得最小值,注意驗證取等條件.

試題解析：解：（1）點與橢圓右焦點的連線垂直于軸，

，將點坐標代入橢圓方程可得．

又，聯立可解得，，

所以橢圓的方程為．

（2）設切點坐標為，，則．

整理，得，

．

設，，

聯立直線方程和橢圓方程可得，

的中點坐標為，

的垂直平分線方程為，令，得．

即，．

，，

當且僅當時取得等號．

直線的斜率的最小值為．