Question

函數
（1）設函數，若方程在上有且僅一個實根，求實數 的取值范圍；
（2）當時，求函數在上的最大值.

Answer 1

（1）實數 的取值范圍
（2）當時，，當時，

試題分析：（1）由二次方程在上有且僅一個實根，說明且根在上或一根在上一根不在上兩種情況，由以上情況列出相應關系式求實數
（2）當時，在上是分段函數，分段函數的最值，應先求出函數在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值.
試題解析：
（1）方程在上有且僅一個實根
即方程在上有且僅一個實根               2分
Ⅰ當方程在上有兩個相等實根
此時無解；                       4分
Ⅱ當方程一根在上一根不在上分兩類情況
①在上有且僅一個實根，則 
即                                  6分
②當時，此時方程
符合題意
綜上所述，實數 的取值范圍                                8分
（2）Ⅰ當時，
∴當時，                               10分
Ⅱ當時，
∵函數在上單調遞增
∴                                   12分
由得又
∴當時，，當時，.    14分