Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，，點,,分別為線段，，的中點，點是線段的中點.求證：

（1）平面；

（2）.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）連AF交BE于Q，連QO，推導出Q是△PAB的重心，從而FG∥QO，由此能證明FG∥平面EBO．

（2）推導出BO⊥AC，從而BO⊥面PAC，進而BO⊥PA，再求出OE⊥PA，由此能證明PA⊥平面EBO，利用線面垂直的性質可證PA⊥BE．

（1）連接AF交BE于Q，連接QO，

因為E，F分別為邊PA，PB的中點，

所以Q為△PAB的重心，可得：2，

又因為O為線段AC的中點，G是線段CO的中點，

所以2，

于是，

所以FG∥QO，

因為FG平面EBO，QO平面EBO，

所以FG∥平面EBO．

（2）因為O為邊AC的中點，AB＝BC，

所以BO⊥AC，

因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO平面ABC，

所以BO⊥平面PAC，

因為PA平面PAC，

所以BO⊥PA，

因為點E，O分別為線段PA，AC的中點，

所以EO∥PC，

因為PA⊥PC，

所以PA⊥EO，

又BO∩OE＝O，BO，EO平面EBO，

所以PA⊥平面EBO，

因為BE平面EBO，

所以PA⊥BE．