Question

（本小題12分）已知f(x)=在區間[－1，1]上是增函數.
（Ⅰ）求實數a的值組成的集合A；
（Ⅱ）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x₁、x₂.試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1) A={a|－1≤a≤1} (2) {m|m≥2，或m≤－2}

解析試題分析：解：（Ⅰ）f＇(x)=4+2 ∵f(x)在[－1，1]上是增函數，
∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，
即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.       ①
設(x)=x²－ax－2，
方法一：
          (1)=1－a－2≤0，
①                              －1≤a≤1，
(－1)=1+a－2≤0.
∵對x∈[－1，1]，只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
方法二：

（Ⅱ）由
∵△=a²+8>0
∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實根，

從而|x₁－x₂|==.
∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.
要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，
即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.       ②
設g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，
方法一：
②g(－1)=m²－m－2≥0，
g(1)=m²+m－2≥0，
m≥2或m≤－2.
所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
當m=0時，②顯然不成立；
當m≠0時，

 m≥2或m≤－2.
所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.
考點：函數單調性和函數與方程
點評：解決該試題的關鍵是能利用導數的符號判定函數單調性，同時能結合方程的思想來求解參數的范圍，屬于基礎題。