Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=2，BC=1，D為AC中點，若規定主視方向為垂直于平面ACC₁A₁的方向，則可求得三棱柱左視圖的面積為．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求三棱錐A-A₁BD的體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，取A₁B，AB₁交點O，連接OD，
∵△AB₁C中，OD是中位線，∴OD∥B₁C
∵OD⊆平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD…．（5分）
（II）∵主視圖方向為垂直于平面ACC₁A₁的方向，
∴三棱柱左視圖為一個矩形，
∵高為2，左視圖面積為，
∴左視圖寬為，即底面三角形高為，即在三角形ABC中，B點到AC的距離為，…．（8分）
根據射影定理可得∠ABC=90°，；
∴三棱錐A-A₁BD以AA₁=2為高，S_△ABD=1，可得三棱錐A-A₁BD的體積為…．（12分）
分析：（I）取A₁B、AB₁交點O，連接OD，用三角形中位線定理證出OD∥B₁C，再用線面平行的判定定理，可以得到B₁C∥平面A₁BD．
（II）三棱柱左視圖的面積為，而高等于2，可得三角形ABC中，B點到AC的距離為，結合平面幾何知識，得到∠ABC=90°且，從而得到三棱錐A-A₁BD的底面積和高，求得它的體積．
點評：本題給出特殊三棱柱，叫我們證明線面平行并求錐體體積，著重考查了直線與平面平行的判定定理和棱柱、棱錐的體積公式等知識，屬于基礎題．