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已知橢圓數學公式，直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經過坐標原點．
（1）證明：點O到直線AB的距離為定值；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．

（1）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），
①當直線AB斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知x1=x2，y1=-y2，
∵以AB為直徑的圓D經過坐標原點，∴
∴x1x2+y1y2=0，∴x12-y12=0
∵x12+4y12=4，∴|x1|=|y1|=
∴原點O到直線的距離為d=|x1|=
②當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0
∴x1+x2=-，x1x2=
∵以AB為直徑的圓D經過坐標原點，∴
∴x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）-km×+m2=0
∴5m2=4（k2+1）
∴原點O到直線的距離為d==
綜上，點O到直線AB的距離為定值；
（2）由（1）可知，在直角△OAB中，點O到直線AB的距離|OH|=，設∠OAH=θ，則∠BOH=θ
∴|OA|=，|OB|=
∴|OA||OB|=
∴2θ=，即時，|OA||OB|取得最小值為
分析：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），分類討論：①當直線AB斜率不存在時，由橢圓的對稱性，可求原點O到直線的距離；②當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理及點到直線的距離公式，即可得到結論；
（2）利用三角函數表示出|OA|，|OB|，進而可求|OA||OB|的最小值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓的綜合，聯立方程，利用韋達定理是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•懷化三模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(
3
，
3
2
)，離心率e=
1
2
，若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點N(
x0
a
，
y0
b
)稱為點M的一個“橢點”，直線l交橢圓C于A、B兩點，若點A、B的“橢點”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的右頂點為D，上頂點為E，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關系，并證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，橢圓的短軸端點與雙曲線
y2
2
-x2=1的焦點重合，過P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，F1，F2為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=
3
2
，S△DEF2=1-
3
2
．若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點N（
x0
a
，
y0
b
）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•浦東新區三模）已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為F1、F2，拋物線M：y2=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F1，橢圓C與拋物線M的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l過焦點F2，與拋物線M交于A、B兩點，若弦長|AB|等于△PF1F2的周長，求直線l的方程；
（3）由拋物線弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)和橢圓弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲線叫“拋橢圓”，是否存在以原點O為直角頂點，另兩個頂點A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：2013年黑龍江省哈爾濱三中高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓過點，離心率，若點M（x，y）在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢點”，直線l交橢圓C于A、B兩點，若點A、B的“橢點”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的右頂點為D，上頂點為E，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關系，并證明．

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