Question

已知m，n∈N，m、n≥1，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展開式中，x的系數為9．求f（x）展開式中x²的系數的最小值．

Answer 1

解：x的系數為C_m¹+C_n¹=9，即m+n=9．∴m=9-n…（4分）
（1）若m=1，n=8，或m=8，n=1時，f（x）=（1+x）+（1+x）⁸
此時，x²的系數為T=C₈²=28…（6分）
（2）若m≠1，且n≠8，或m≠8，且n≠1時x²的系數為T=C_m²+C_n²=．…（9分）
∵m，n∈N，m、n≥1，∴1≤n≤8，且n∈N
∴當n=4或5時，x²系數取得最小值，最小值為16…（12分）
綜合（1）（2）得．當n=4或5時，x²系數取得最小值，最小值為16…（13分）
分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的x的系數，列出方程得到m，n的關系；利用二項展開式的通項公式求出x²的系數，將m，n的關系代入得到關于m的二次函數，配方求出最小值
點評：本題考查二項式定理的應用，本題考查利用二項展開式的通項公式求二項展開式的特殊項問題；利用賦值法求二項展開式的系數和問題．解題時要認真審題，仔細解答．