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【題目】已知函數.

（1）求函數的圖象在點處的切線方程；

（2）若在上有解，求的取值范圍；

（3）設是函數的導函數，是函數的導函數，若函數的零點為，則點恰好就是該函數的對稱中心.試求的值.

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）先求導數，根據導數幾何意義得切線斜率，再根據點斜式得方程，

（2）先化簡不等式，再利用參變分離法將二次不等式有解問題轉化為對應函數最值問題，最后根據二次函數最值求結果，

（3）根據對稱中心性質得，再利用對稱性求和.

解：（1）因為

所以所求切線的斜率

又因為切點為

所以所求的切線方程為

（2）因為，所以

因為在上有解，

所以不小于在區間上的最小值.

因為時，，

所以的取值范圍是.

（3）因為，所以.

令可得，

所以函數的對稱中心為，

即如果，則，

所以.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某中學學校對高三年級文科學生進行了一次自主學習習慣的自評滿意度的調查，按系統抽樣方法得到了一個自評滿意度（百分制，單位：分）的樣本，如圖分別是該樣本數據的莖葉圖和頻率分布直方圖（都有部分缺失）．

（1）完善頻率分布直方圖（需寫出計算過程）；

（2）分別根據莖葉圖和頻率分布直方圖求出樣本數據的中位數m1和m2，并指出選用哪一個數據來估計總體的中位數更合理（需要敘述理由）．

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【題目】水污染現狀與工業廢水排放密切相關，某工廠深人貫徹科學發展觀，努力提高污水收集處理水平，其污水處理程序如下：原始污水必先經過A系統處理，處理后的污水（A級水）達到環保標準（簡稱達標）的概率為p（0<p<1）.經化驗檢測，若確認達標便可直接排放；若不達標則必須進行B系統處理后直接排放.

某廠現有4個標準水量的A級水池，分別取樣、檢測，多個污水樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要有樣本不達標，則混合樣本的化驗結果必不達標，若混合樣本不達標，則該組中各個樣本必須再逐個化驗；若混合樣本達標，則原水池的污水直接排放

現有以下四種方案：

方案一：逐個化驗；

方案二：平均分成兩組化驗；方案三；三個樣本混在一起化驗，剩下的一個單獨化驗；

方案四：四個樣本混在一起化驗.

化驗次數的期望值越小，則方案越"優".

（1）若，求2個A級水樣本混合化驗結果不達標的概率；

（2）①若，現有4個A級水樣本需要化驗，請問：方案一、二、四中哪個最“優"？②若“方案三”比“方案四"更“優”，求p的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】定義一：對于一個函數，若存在兩條距離為d的直線和，使得在時，恒成立，則稱函數在D內有一個寬度為d的通道.定義二：若一個函數，對于任意給定的正數，都存在一個實數，使得函數在內有一個寬度為的通道，則稱在正無窮處有永恒通道.下列函數：①；②；③.其中在正無窮處有永恒通道的函數的個數為（ ）

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，為拋物線上異于原點的任意一點，以為直徑作圓，當直線的斜率為1時，.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）過焦點作的垂線與圓的一個交點為，交拋物線于，（點在點，之間），記的面積為，求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某種水箱用的“浮球”是由兩個相同半球和一個圓柱筒組成，它的軸截面如圖所示，已知半球的直徑是，圓柱筒高，為增強該“浮球”的牢固性，給“浮球”內置一“雙蝶形”防壓卡，防壓卡由金屬材料桿,,,,,及焊接而成，其中,分別是圓柱上下底面的圓心，，，，均在“浮球”的內壁上，AC，BD通過“浮球”中心，且、均與圓柱的底面垂直．

（1）設與圓柱底面所成的角為，試用表示出防壓卡中四邊形的面積，并寫出的取值范圍；

（2）研究表明，四邊形的面積越大，“浮球”防壓性越強，求四邊形面積取最大值時，點到圓柱上底面的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某公司統計了2010～2018年期間公司年收的增加值（萬元）以及相應的年增長率，所得數據如下所示：

年份

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

代碼

1

2

3

4

5

6

7

8

9

增加值

1555

2100

2220

2740

3135

3563

4041

5494.4

6475

增長率

（1）通過散點圖可知，可用線性回歸模型擬合2010～2014年與的關系；

①求2010～2014年這5年期間公司年利潤的增加值的平均數；

②求關于的線性回歸方程；

（2）從哪年開始連續三年公司利潤增加值的方差最大？（不需要說明理由）

附：參考公式：回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.

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【題目】已知函數的部分圖象如圖所示.

（1） 求函數的解析式；

（2） 如何由函數的通過適當圖象的變換得到函數的圖象， 寫出變換過程;

（3） 若，求的值.

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【題目】已知函數，其中e為自然對數的底數.

（1）討論函數的單調性；

（2）用表示中較大者，記函數.若函數在上恰有2個零點，求實數a的取值范圍.

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