Question

【題目】已知函數是偶函數.

（1）求證：是偶函數；

（2）求證：在上是增函數；

（3）設（，且），若對任意的，在區間上總存在兩個不同的數，，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】分析：（1）直接利用奇偶性的定義證明即可；（2）設，則 ，分解因式可得，從而可得結論；（3）由（1）和（2），得在上是減函數，則，當時，結合函數圖象可得，解得，即；當時，直線與函數的圖象沒有交點，不合題意，從而可得結果.

詳解：（1）函數的定義域為，

因為，

所以是偶函數.

（2）證明：設，則

.

由，得，，，

所以，即，

所以在上是增函數.

（3）解：由（1）和（2），得在上是減函數，則.

.

當時，的值域為.

當直線與函數的圖象有兩個交點時，

，解得，即.

當時，的值域為，而，

所以直線與函數的圖象沒有交點，此時不符合題意.

綜上，所求的取值范圍是.