Question

某單位擬建一個扇環面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環面是由以點為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成．按設計要求扇環面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角為（弧度）．

（1）求關于的函數關系式；

（2）已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為，求關于的函數關系式，并求出為何值時，取得最大值？

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）1.

【解析】

試題分析：（1）將扇環面的兩段弧長和直線段長分別用與表示后，利用其和為30列式，再解出即可；（2）將花壇的面積和裝飾總費用分別用與表示，再利用第（1）問的結果消去，從而可得到關于函數，然后可利用導數或基本等式求其最小值，并確定取最小值時的值.

試題解析：(1)由弧長計算及扇環面的周長為30米，得

，所以， 4分

(2) 花壇的面積為． 7分

裝飾總費用為， 9分

所以花壇的面積與裝飾總費用的比， 11分

令，則，當且僅當t=18時取等號，此時．

答：當x＝１時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大． 14分

(注：對也可以通過求導，研究單調性求最值，同樣給分)

考點：函數在實際問題中的應用，基本不等式的應用.