Question

將數列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多兩項的規則排成如下數表：
a₁
a₂a₃a₄
a₅a₆a₇a₈a₉
…
已知表中的第一列數a₁，a₂，a₅，…構成一個等差數列，記為{b_n}，且b₂=4，b₅=10．表中每一行正中間一個數a₁，a₃，a₇，…構成數列{c_n}，其前n項和為S_n．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若上表中，從第二行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，公比為同一個正數，且a₁₃=1．①求S_n；②記M={n|（n+1）c_n≥λ，n∈N*}，若集合M的元素個數為3，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設{b_n}的公差為d，
則，解得，∴b_n=2n．
（2）①設每一行組成的等比數列的公比為q，
由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²個數，且3²＜13＜4²，
∴a₁₀=b₄=8，
∴a₁₃=a₁₀q³=8q²，
又a₁₃=1，解得，
∴，
∴，
，
∴
=4-
解得．
②由①知，，不等式（n+1）c_n≥λ，可化為，
設，解得，
∴n≥3時，f（n+1）＜f（n）．
∵集合M的元素個數是3，
∴λ的取值范圍是（4，5]．
分析：（1）設{b_n}的公差為d，則，由此能求出數列{b_n}的通項公式．
（2）①設每一行組成的等比數列的公比為q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²個數，且3²＜13＜4²，解得，，所以，由錯位相減法能夠求得．
②由，知不等式（n+1）c_n≥λ，可化為，設，解得，由此能夠推導出λ的取值范圍．
點評：本題考查數列的通項公式的求法、前n項和的計算和等比數列性質的應用，解題時要注意方程思想和錯位相減求和法的合理運用，注意合理地進行等價轉化．