Question

【題目】已知函數f（x）＝ex﹣2mx﹣n（0＜x＜1），其中m，n∈R，e為自然對數的底數.

（1）試討論函數f（x）的極值；

（2）記函數g（x）＝ex﹣mx2﹣nx﹣1（0＜x＜1），且g（x）的圖象在點處的切的斜率為，若函數g（x）存在零點，試求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求導后對的取值分類，注意在定義域內，得函數有無極值，且求出極值；

（2）求導得到等于，求出在處的導數值，既是在處的切線的斜率，由題意得的關系，然后討論的范圍使存在零點，進而求出的范圍．

(1) ，①當2m≤1時，即時，1exe，∴ ，f(x)在(0，1)上單調遞增，f(x)無極值；

②當2m≥e時，即時， ，f(x)在(0，1)上單調遞減，f(x)無極值；

③當<e時，，x＝ln2e，當時，f(x)0，f(x)單調遞減，

當1xln2e時，，函數f(x)單調遞增，所以(0，1)上函數f(x)有極大值，無極小值，且極大值為f(ln2e)＝2e﹣2mln2e﹣n；

綜上：當或，函數f(x)無極值；

當<e時，f(x)的極小值為2m﹣2mln2m﹣n，無極大值；

(2)由題意得：g'(x)＝ex﹣2mx﹣n，

g(x)的圖象在點處的切線的斜率為1﹣，

而g'﹣n，所以m+n＝e﹣1，

∴n＝e﹣1﹣m，g(x)＝ex﹣mx2﹣(e﹣m﹣1)x﹣1，

所以g(0)＝0，g(1)＝e﹣m﹣(e﹣m﹣1)﹣1＝0，

設x0為g(x)在區間(0，1)內的零點，則g(0)g(x0)＝0，

可知g(x)在區間(0，x0)內不可能單調遞增，也不可能單調遞減，

故g'(x)不可能恒為正，也不可能恒為負，故g(x)在(0，x0)內存在零點x1，在區間(x0，1)內存在零點x2，所以g'(x)＝f(x)在區間(0，1)內至少有兩個零點，

由(1)知當時，g'(x)在區間(0，1)單調遞增，

故g'(x)在區間(0，1)內至多有一個零點；

當時，g'(x)在區間(0，ln2m)內單調遞減，(ln2m，1)內單調遞增，

所以x1∈0，ln2m)，x2∈(ln2m，1)，

則g'(0)＝1﹣(e﹣m﹣1)0，g'(1)＝e﹣2m﹣(e﹣m﹣1)0，

g'(ln2m)＝2m﹣2mln2m﹣n＝3m﹣2mln2m+1﹣e0，

令h(x)﹣xlnx+1﹣e，()，

則h'(x)，令h'(x)＝0，則得，

當1時，h'(x) ，g(x)單調遞增，

當時，h'(x)0，h(x)單調遞減，

所以h(x)最大值＝h(1﹣；所以g'(ln2m)0恒成立，

由得，

綜上，實數m的取值范圍(e﹣2，1)