Question

某企業為打入國際市場，決定從A、B兩種產品中只選擇一種進行投資生產，已知投資生產這兩種產品的有關數據如下表：（單位：萬美元）

	年固定成本	每件產品成本	每件產品銷售價	每年最多可生產的件數
A產品	20	m	10	200
B產品	40	8	18	120

其中年固定成本與年生產的件數無關，m是待定常數，其值由生產A產品的原材料決定，預計m∈[6，8]，另外，年銷售x件B 產品時需上交0.05x²萬美元的特別關稅，假設生產出來的產品都能在當年銷售出去．
（1）求該廠分別投資生產A、B兩種產品的年利潤y₁，y₂與生產相應產品的件數x之間的函數關系；
（2）分別求出投資生產這兩種產品的最大利潤；
（3）該企業投資哪種產品可獲得最大利潤？

Answer 1

解：（1）生產A產品的年利潤y₁=10x-（20+mx）=（10-m）x-20（其中0＜x≤200，且x∈N）；
生產B產品的年利潤y₂=18x-（8x+40）-0.05x²=-0.05x²+10x-40（其中0＜x≤120，且x∈N）．
（2）由m∈[6，8]，得10-m＞0，∴y₁=（10-m）x-20為增函數；
又0≤x≤200，x∈N∴x=200時，生產A產品有最大利潤為（10-m）×200-20=1980-200m（萬美元）；
y₂=-0.05x²+10x-40=-0.05（x-100）²+460（其中0≤x≤120，x∈N），
∴x=100時，生產B產品有最大利潤460（萬美元）．
（3）由（y₁）_max-（y₂）_max=1980-200m-460=1520-200m，得：
當1520-200m＞0時，6≤m＜7.6，此時投資A產品200件可獲得最大利潤；
當1520-200m=0時，m=7.6，此時生產A產品與B產品均可獲得最大年利潤；
當1520-200m＜0時，7.6＜m≤8，此時投資B產品100件可獲得最大利潤．
分析：（1）生產A產品的年利潤y₁=每件產品銷售價×年產量-（固定成本+可變成本）；同理，生產B產品的年利潤y₂也可求得．
（2）由m∈[6，8]，得10-m＞0，∴y₁=（10-m）x-20是增函數，且0≤x≤200，易知x=200時，y₁有最大值；
二次函數y₂=-0.05x²+10x-40，易求得當x=100時，y₂有最大值．
（3）用y₁的最大值和y₂的最大值作差，比較可得何時投資哪種產品獲得利潤最大．
點評：本題考查了利潤函數模型的應用；利潤函數y=銷售價×產量-（固定成本+可變成本），在求最值時通常先考慮函數的定義域和單調性．