Question

有人玩擲骰子移動棋子的游戲，棋盤分為A、B兩方，開始時棋子放在A方，根據下列①、②、③的規定移動棋子：①骰子出現1點時，不能移動棋子；②出現2、3、4、5點時，把棋子移向對方；③出現6點時，如果棋子在A方就不動，如果棋子在B方就移至A方．
（1）求將骰子連擲2次，棋子擲第一次后仍在A方而擲第二次后在B方的概率．
（2）將骰子擲了n次后，棋子仍在A方的概率記為P_n，求P_n．

Answer 1

解：（1）將骰子連擲2次，棋子擲第一次后仍在A方而擲第二次后在B方的概率P==．
（2）設把骰子擲了n+1次后，棋子仍在A方的概率為P_n+1，有兩種情況：
①第n次棋子在A方，其概率為P_n，且第n+1次骰子出現1點或6點，棋子不動，其概率為．
②第n次棋子在B方，且第n+1次骰子出現2，3，4，5或6點，其概率為．
∴，即，P₀=1，
，．
∴{}是首項為，公比為的等比數列．
∴，即 ．
分析：（1）第一次后仍在A方的概率為，而擲第二次后在B方的概率為，故所求的概率為 ．
（2）設把骰子擲了n+1次后，棋子仍在A方的概率為P_n+1，有兩種情況：①第n次棋子在A方，其概率為P_n，且
第n+1次骰子出現1點或6點，其概率為．②第n次棋子在B方，且第n+1次骰子出現2，3，4，5或6點，其概率為．可得，構造等比數列{}，首項為，公比為的等比數列，求出其通項公式，可得P_n的值．
點評：本題主要考查等可能事件的概率，等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式，體現了轉化的數學思想．