Question

（12分）已知橢圓的離心率，過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，當直線的斜率為1時，坐標原點到直線的距離為.
（1）求橢圓的方程
（2）橢圓上是否存在點，使得當直線繞點轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標及對應直線方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）（2）存在，坐標為或.

試題分析：(1)因為直線過右焦點，斜率為1，
所以直線的方程為：即.
坐標原點到直線的距離為，所以，所以.             …2分
因為離心率為，所以所以，
所以橢圓C的方程為.                                           …4分
(2)因為直線過右焦點，所以當直線斜率不存在時，直線方程為：
所以所以,為右端點時，，
所以此時沒有符合要求的點.
當直線斜率存在時，設直線方程為：，
由得：.                        …7分
設點的坐標分別為，，
則，因為，，
所以，
所以，
所以點的坐標為，且符合橢圓方程，
所以，解得
所以點的坐標為或.                                  …12分
點評：設直線方程時要注意斜率存在與不存在兩種情況，求解直線與橢圓位置關系問題時，通常要聯立方程組，運算量比較大，應該仔細計算，并且要注意通性通法的應用，加強解題的規范性.