Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數在單調遞增；當時，函數在單調遞增，在單調遞減（2）證明見解析；

【解析】

（1）根據，求導得到，結合函數的定義域，分和兩種情況討論求解.

（2）當時，，將證明，轉化為證明成立，令，用導數法結合零點存在定理證明即可.

解法一：（1）因為，

所以，

當時，，即函數在單調遞增；

當時，令，即，解得；

令，即，解得，

綜上所述：當時，函數在單調遞增；

當時，函數在單調遞增，在單調遞減.

（2）當時，，

欲證，只需證，即證明，

令，

所以，

令，已知函數在單調遞增.

又，，所以存在唯一，使得，

所以當時，，即；

當時，，即；

所以函數在單調遞減，在單調遞增.

當時，，

因為，所以，所以，即，

所以不等式成立，即當時，.

解法二：（1）同解法一

（2）當時，，由（1）知：

在為增函數，在為減函數，

所以，所以，即.

欲證，只需證，即證，

即證，即只需證，

令，則，

令得；令得，

所以函數在為減函數，在為增函數，

所以，所以不等式成立，

即當時，.