Question

如下圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，PA=1，P在平面ABC內的射影為BF的中點O.

(1)證明PA⊥BF；

(2)求面APB與面DPB所成二面角的大小.

Answer 1

解法1：連結AD，則易知AD與BF的交點為O.

(1)證法1：∵AB=AF,O為BF的中點，∴AO⊥BF

又∵PO⊥平面ABC，

∴由三垂線定理得PA⊥BF

證法2：∵BF⊥PO,BF⊥AO,PO∩AO=O,∴BF⊥平面AOP.

∵PA平面AOP，∴PA⊥BF.

(2)解：設M為PB的中點，連結AM、MD.

∵在△ABP中PA=AB，∴PB⊥AM.

∵斜線PB在平面ABC內的射影為OB，BF⊥AD，∴由三垂線定理得PB⊥AD.

又∵AM∩AD=A,∴PB⊥平面AMD.

∵MD平面AMD，∴PB⊥MD.

因此∠AMD為所求二面角的平面角.

在正六邊形ABCDEF中，BD=BF=2OB=，AD=2.

在Rt△AOP中，PA=1，OA=∴PO=

在Rt△BOP中，PB=，則

BM=C,AM=,MD=.

在△AMD中，由余弦定理得cosAMD=.

因此，所求二面角的大小為arccos(-).

解法2：?由題設條件,以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz.如圖，由正六邊形的性質，可得OA=,OB=OF=,OD=

在Rt△AOP中，PA=1，OA=，故OP=.

因而有A(0,-,0),B(,0,0),D(0,,0),F(-,0,0),P(0,0,).

(1)證明：因=(0,-,-),  =(-,0,0),故=0.所以PA⊥BF.

(2)解：設M為PB的中點，連結AM、MD，則M點的坐標為().

∵==0,

=(=0，

∴MA⊥PB,MD⊥PB.

因此，∠AMD為所求二面角的平面角.

∵=,,

,

∴cos＜＞=

因此，所求二面角的大小為arccos().