Question

對函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，使得

1

f(x)

=

1

a

(

A

x-x1

+

B

x-x2

)（其中A，B為常數），則稱f（x））=ax²+bx+c（a≠0）為“可分解函數”．
（1）試判斷f（x）=x²+3x+2是否為“可分解函數”，若是，求出A，B的值；若不是，說明理由；
（2）用反證法證明：f（x）=x²+x+1不是“可分解函數”；
（3）若f（x）=ax²+ax+4（a≠0），是“可分解函數”，則求a的取值范圍，并寫出A，B關于a的相應的表達式．

Answer 1

分析：（1）由于當f（x）=x²+3x+2時，

1

f(x)

=

1

x2+3x+2

=

-1

x-(-2)

+

1

x-(-1)

，根據“可分解函數”的概念，要得結論，并求出A，B值；
（2）假設f（x）=x²+x+1是“可分解函數”，根據“可分解函數”的定義及多項式相等的條件，可構造方程組，進而根據方程組無解，可得結論；
（3）若f（x）=ax²+ax+4（a≠0），是“可分解函數”，根據“可分解函數”的定義及多項式相等的條件，可構造方程組，求出A，B的表達式．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+3x+2
∴

1

f(x)

=

1

x2+3x+2

=

1

(x+2)(x+1)

=

-1

x-(-2)

+

1

x-(-1)

故函數f（x）=x²+3x+2為“可分解函數”，且A=-1，B=1
（2）假設f（x）=x²+x+1是“可分解函數”，即存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
使得

1

f(x)

=

1

a

(

A

x-x1

+

B

x-x2

)=

1

x2+x+1

即

1

a

(

(A+B)x-(Ax2+Bx1)

x2-(x1+x2)x+x1•x2

）=

1

x2+x+1

，
即

A+B=0 Ax2+Bx1=-1 x1+x2=-1 x1•x2=1

，
由于方程組

x1+x2=-1 x1•x2=1

無解，
所以假設不真，
故原命題成立．
即f（x）=x²+x+1不是“可分解函數”；
（3）因為f（x）=ax²+ax+4（a≠0），是“可分解函數”，
所以存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
使得

1

f(x)

=

1

a

(

A

x-x1

+

B

x-x2

)=

1

a

(

(A+B)x-(Ax2+Bx1)

x2-(x1+x2)x+x1•x2

）=

1

a

•

1

x2+x+ 4 a

，
所以x2+x+

4

a

=0有兩個不同的實根，所以△=1-

16

a

＞0
解得：a＞16或a＜0
此時方程x2+x+

4

a

=0有兩個不同的實根，
且x1=

-1- 1- 16 a

2

，x2=

-1+ 1- 16 a

2

代入

A+B=0 Ax2+Bx1=-1

解得

A=- a a-16 B= a a-16

點評：本題以新定義“可分解函數”為載體考查了因式分解，反證法，及多項式相等的條件等知識點，是函數問題的綜合應用，難度較大，正確理解新定義的概念，并由此構造相應的方程組是解答的關鍵．