Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣9x，函數g（x）=3x2+a．
（1）已知直線l是曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線，且l與曲線y=g（x）相切，求a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有三個不同實數解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=x3﹣9x的導數為f′（x）=3x2﹣9，

f（0）=0，f′（0）=﹣9，直線l的方程為y=﹣9x，

設l與曲線y=g（x）相切于點（m，n），

g′（x）=6x，g′（m）=6m=﹣9，解得m=﹣ ，

g（m）=﹣9m，即g（﹣ ）= +a= ，

解得a= ；

（2）解：記F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣9x﹣3x2﹣a，

F′（x）=3x2﹣6x﹣9，

由F′（x）=0，可得x=3或x=﹣1．

當x＜﹣1時，F′（x）＞0，F（x）遞增；

當﹣1＜x＜3時，F′（x）＜0，F（x）遞減；

當x＞3時，F′（x）＞0，F（x）遞增．

可得x=﹣1時，F（x）取得極大值，且為5﹣a，

x=3時，F（x）取得極小值，且為﹣27﹣a，

因為當x→+∞，F（x）→+∞；x→﹣∞，F（x）→﹣∞．

則方程f（x）=g（x）有三個不同實數解的等價條件為：

5﹣a＞0，﹣27﹣a＜0，

解得﹣27＜a＜5

【解析】（1）求出f（x）的導數和切線的斜率和方程，設l與曲線y=g（x）相切于點（m，n），求出g（x）的導數，由切線的斜率可得方程，求得a的值；（2）記F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣9x﹣3x2﹣a，求得導數和單調區間，極值，由題意可得方程f（x）=g（x）有三個不同實數解的等價條件為極小值小于0，極大值大于0，解不等式即可得到所求范圍．