Question

【題目】已知函數.

（1）若是的極小值點，求實數的取值范圍；

（2）若，證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）求得的定義域，并求導，利用分類討論當時，分析單調性顯然成立；當時，令，得或，再利用分類討論兩根的大小，分別分析單調性討論是否成立，得到當時成立，當時與當時，都不成立，最后綜上得參數的取值范圍；

（2）由（1）可知當時，得的單調性，從而表示；將所證不等式等價轉化為不等式對任意的都恒成立，構建，利用導數求得值域，最后由不等式的性質即可得證原不等式成立.

（1）的定義域為，

①當時，，則，

令，得，

當時，，所以在上單調遞減；

當時，，所以在上單調遞增；

此時是的極小值點，符合題意；

②當時，令，得或.

（i）當時，則，

所以當時，，所以在上單調遞增；

當時，，所以在上單調遞減；

當時，，所以在上單調遞增，

此時是的極小值點，符合題意；

（ii）當時，，

當時，，所以在上單調遞增，不是的極值點.

（iii）當時，則，

所以當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減；

當時，，所以在上單調遞增，

此時是的極大值點，不符合題意.

綜合①②，得.

（2）證明：由（1）可知當時，在上單調遞增；

又，所以當時，；當時，；

所以當或時，都有.

要證不等式對任意的都恒成立，

即證不等式對任意的都恒成立，

設，則.

設，且在上單調遞減；

所以方程的唯一解為，

所以當時，，所以在上單調遞增；

當時，，所以在上單調遞減；

所以當時，.

當時，對任意都恒成立.

所以當時，不等式對任意都恒成立.