Question

已知函數f(x)=|1-|.

(1)是否存在a＜b且a,b∈［1,+∞),使得當函數f(x)的定義域為［a,b］時,值域為［a, b］?若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.

(2)若存在實數a,b(a＜b),使得函數f(x)的定義域為［a,b］,值域為［ma,mb］(m≠0),求實數m的取值范圍.

Answer 1

解:(1)若存在，則由于當a,b∈［1,+∞)時，f(x)=1-在［1,+∞)上單調遞增，則f(a)= a,f(b)= b，可知a,b是方程式x²-8x+8=0的實根，求得a=4-22,b=4+22滿足條件.

?

(2)若存在，則易知M＞0，a＞0,?

當a,b∈(0，1)時，由于f(x)= -1在(0，1)上單調遞減，

則可得f(a)=Mb,f(b)=Ma,則得-1=Mb，-1=Ma,相減得=M(b-a).

由于a≠b,則M=,所以-1=Mb=-1=0,這是不可能的，故此時不存在實數a,b滿足條件.                                                                                                        ?

當a∈(0,1),b∈［1,+∞)時，顯然1∈［a,b］,而f(1)=0,則0∈［a,b］，矛盾.故此時也不存在實數a,b滿足條件.                                                                                       ?

當a,b∈［1,+∞)時，由于f(x)=1-在［1,+∞)上單調遞增，則f(a)=Ma,f(b)=Mb,則得a,b是方程Mx²-x+1=0的兩個大于1的實根，則由Δ＞0,＞1可得M的取值范圍是(0，).