Question

已知函數f（x）=x²，對任意實數t，g_t（x）=-tx+1．
（1）求函數y=g₃（x）-f（x）的單調區間；
（2）h(x)=

x

f(x)

-gt(x)在（0，2]上是單調遞減的，求實數t的取值范圍；
（3）若f（x）＜mg₂（x）對任意x∈(0，

1

3

]恒成立，求正數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用配方法求函數y=g₃（x）-f（x）的單調區間；
（2）由已知得，h(x)=

x

f(x)

-gt(x)=

1

x

+tx-1，利用單調性的定義，可知要使h（x）在（0，2]上是單調遞減的，必須h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立，從而只需1-tx₁x₂＞0恒成立，即t＜

1

x1x2

恒成立，故可求實數t的取值范圍；（3）解法一：由f（x）＜mg₂（x），得x²＜m（-2x+1），分離參數可得

1

m

＜

1

x2

-

2

x

，從而問題轉化為

1

m

＜(

1

x2

-

2

x

)min，x∈(0，

1

3

]，利用配方法可求函數y=

1

x2

-

2

x

的最小值3，故可求正數m的取值范圍；
解法二：由f（x）＜mg₂（x），得x²+2mx-m＜0．構造f（x）=x²+2mx-m，則f（x）＜0對任意x∈(0，

1

3

]恒成立，只需

f(0)≤0 f( 1 3 )＜0

，即

-m≤0 1 9 + 2 3 m-m＜0

，從而可求正數m的取值范圍．

解答：解：（1）y=g₃（x）-f（x）=-x2-3x+1=-(x+

3

2

)2+

13

4

…（1分）
所以函數y的單調遞增區間是(-∞，-

3

2

]，單調遞減區間是[-

3

2

，+∞)．…（3分）
（2）由已知得，h(x)=

x

f(x)

-gt(x)=

1

x

+tx-1，…（4分）
設0＜x₁＜x₂≤2，
則h(x1)-h(x2)=(

1

x1

+tx1-1)-(

1

x2

+tx2-1)=

(x2-x1)(1-tx1x2)

x1x2

…（6分）
要使h（x）在（0，2]上是單調遞減的，必須h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立．   …（7分）
因為x₂-x₁＞0，0＜x₁x₂＜4，
所以1-tx₁x₂＞0恒成立，即t＜

1

x1x2

恒成立，…（8分）[
因為

1

x1x2

＞

1

4

，所以t≤

1

4

，
所以實數t的取值范圍是(-∞，

1

4

]．…（9分）
（3）解法一：由f（x）＜mg₂（x），得x²＜m（-2x+1），①…（10分）
因為m＞0且x∈(0，

1

3

]，所以①式可化為

1

m

＜

1

x2

-

2

x

，②…（11分）
要使②式對任意x∈(0，

1

3

]恒成立，只需

1

m

＜(

1

x2

-

2

x

)min，x∈(0，

1

3

]（12分）
因為

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1，所以當x=

1

3

時，函數y=

1

x2

-

2

x

取得最小值3，…（12分）
所以

1

m

＜3，又m＞0，所以m＞

1

3

，
故正數m的取值范圍是(

1

3

，+∞)．…（13分）
解法二：由f（x）＜mg₂（x），得x²+2mx-m＜0，…（10分）
令f（x）=x²+2mx-m，則f（x）＜0對任意x∈(0，

1

3

]恒成立，…（11分）
只需

f(0)≤0 f( 1 3 )＜0

，即

-m≤0 1 9 + 2 3 m-m＜0

，解得m＞

1

3

，…（12分）
故正數m的取值范圍是(

1

3

，+∞)．                             …（13分）

點評：本題考查的重點是求參數的范圍問題，考查恒成立問題，考查函數的單調區間，解題的關鍵是利用分離參數法，進而求函數的最值．