Question

若對于定義在R上的函數f(x)，其圖象是連續不斷的，且存在常數λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0對任意實數都成立，則稱f(x)是一個“λ伴隨函數”．下列關于“λ伴隨函數”的結論：①f(x)＝0不是常數函數中唯一一個“λ伴隨函數”；②f(x)＝x不是“λ伴隨函數”；③f(x)＝x2是“λ伴隨函數”；④“伴隨函數”至少有一個零點．其中正確的結論個數是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

 

Answer 1

B

【解析】由題意得，①正確，如f(x)＝c≠0，取λ＝－1，則f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，即f(x)＝c≠0是一個“λ伴隨函數”．②不正確，若f(x)＝x是一個“λ伴隨函數”，則f(x＋λ)＋λx＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾．③不正確，若f(x)＝x2是一個“λ伴隨函數”，則(x＋λ)2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾．④正確，若f(x)是“伴隨函數”，則f ＋f(x)＝0，取x＝0，則f ＋f(0)＝0，若f(0)、f 任意一個為0，則函數f(x)有零點；若f(0)、f 均不為0，則f(0)、f 異號，由零點存在性定理知，在區間內存在零點．所以有兩個結論正確．故選B.