Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x）= （a∈R）是奇函數，函數g（x）= 的定義域為（﹣1，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）= 在（﹣1，+∞）上遞減，根據單調性的定義求實數m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若函數h（x）=f（x）+g（x）在區間（﹣1，1）上有且僅有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數 是奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ 得a=0

（2）解：∵ 在（﹣1，+∞）上遞減，

∴任給實數x1，x2，當﹣1＜x1＜x2時，g（x1）＞g（x2），

∴ ，

∴m＜0

（3）解：由（1）得 ，

令h（x）=0，即 ，

化簡得x（mx2+x+m+1）=0，

∴x=0或 mx2+x+m+1=0，

若0是方程mx2+x+m+1=0的根，則m=﹣1，

此時方程mx2+x+m+1=0的另一根為1，不符合題意，

∴函數h（x）=f（x）+g（x）在區間（﹣1，1）上有且僅有兩個不同的零點，

等價于方程mx2+x+m+1=0（※）在區間（﹣1，1）上有且僅有一個非零的實根，

①當△=12﹣4m（m+1）=0時，得 ，

若 ，則方程（※）的根為 ，符合題意；

若 ，則與（2）條件下m＜0矛盾，不符合題意，

∴ ，

②當△＞0時，令h（x）=mx2+x+m+1，

由 ，得﹣1＜m＜0，

綜上所述，所求實數m的取值范圍是

【解析】（1）根據函數的奇偶性，求出a的值即可；（2）根據單調性的定義判斷m的范圍即可；（3）根據根域系數的關系，通過討論△的符號，求出m的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的性質和函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．