Question

【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，且與拋物線的焦點重合.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的標準方程為；（2）的最小值為.

【解析】試題分析：（1）由題可知）拋物線的焦點為，所以，然后根據離心率可得a值，從而得出橢圓標準方程（2）根據題意則需求出AC和BD的長度表達式，顯然可以根據直線與橢圓的弦長公式求得，所以設， ，直線的方程為，代入橢圓方程， ，同理求出AC的長度，然后化簡即得 .

解析：

（1）拋物線的焦點為，所以，

又因為，所以，

所以，所以橢圓的標準方程為.

（2）（i）當直線的斜率存在且時，

直線的方程為，代入橢圓方程，

并化簡得.

設， ，則， ，

.

易知的斜率為，

所以.

.

當，即時，上式取等號，故的最小值為.

（ii）當直線的斜率不存在或等于零時，易得.

綜上， 的最小值為.