Question

設0≤x≤2，求函數y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1的最大值和最小值．

Answer 1

分析：本題中的函數是一個復合函數，求解此類函數在區間上的最值，一般用換元法，把復合函數的最值問題變為兩個函數的最值問題，以達到簡化解題的目的．本題宜先令2^x=t，求出其范圍，再求外層函數在這個區間上的最值．

解答：解：設2^x=t，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4
原式化為：y=

1

2

（t-a）²+1，1≤t≤4
當a≤1時，y=

1

2

（t-a）²+1[1，4]是增函數，故y_min=

a2

2

-a+

3

2

，ymax=

a2

2

-4a+9；
當1＜a≤

5

2

時，y=

1

2

（t-a）²+1[1，a]是減函數，在[a，4]上是增函數，故y_min=1，y_max=y（4）=

a2

2

 -4a+9；
當

5

2

＜a＜4時，y=

1

2

（t-a）²+1[1，a]是減函數，在[a，4]上是增函數，故y_min=1，y_max=y（1）=

a2

2

-a+

3

2

；
當a≥4時，y_min=

a2

2

-4a+9，ymax=

a2

2

-a+

3

2

．

點評：本題考點是指數函數單調性的應用，考查指數復合型函數最值的求法，做此題時，采取了換元法求最值，其具體操作過程是先求內層函數的值域，再求外層函數在內層函數值域上的最值，此解法大大降低了判斷復合函數單調性的難度，使得復合函數最值的求解變得容易，求解復合函數的最值時注意靈活使用這一技巧．