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f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx+c
,當x∈(0,1)時取得極大值,當x∈(1,2)時取得極小值,則
b-3
a+2
的取值范圍為
(-∞,-3)∪(2,+∞)
(-∞,-3)∪(2,+∞)
分析:據極大值點左邊導數為正右邊導數為負,極小值點左邊導數為負右邊導數為正得a,b的約束條件,據線性規劃求出最值.
解答:解:∵f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx+c
,
∴f′(x)=x2+ax+2b,
∵函數f(x)在區間(0,1]內取得極大值,在區間(1,2]內取得極小值
∴f′(x)=x2+ax+2b=0在(0,1]和(1,2]內各有一個根,
f′(0)>0,f′(1)≤0,f′(2)≥0
b>0
a+2b+1≤0
a+b+2≥0
,
在aOb坐標系中畫出其表示的區域,如圖,
b-3
a+2
表示點A(-2,3)與可行域內的點B連線的斜率,
∵M(-1,0),∴kAM=-3,
∵N(-3,1),∴kAN=2,
結合圖象知
b-3
a+2
的取值范圍是(-∞,-3)∪(2,+∞).
故答案為:(-∞,-3)∪(2,+∞).
點評:本題考查學生利用導數研究函數極值的能力,綜合性強,難度大,對數學思維能力要求較高,要求學生會進行簡單的線性規劃的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

f(x)=
13
x3-(1+a)x2+4ax+24a
,其中a∈R.
(1)若f(x)有極值,求a的取值范圍;
(2)若當x≥0,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

f(x)=-
1
3
x3+
1
2
x2+2ax

(1)若f(x)在(
2
3
,+∞)
上存在單調遞增區間,求a的取值范圍.
(2)當0<a<2時,f(x)在[1,4]的最小值為-
16
3
,求f(x)在該區間上的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+(a-1)x
(a∈R).
(1)若x=1是函數f(x)的極大值點,求a的取值范圍;
(2)若在x∈[1,3]上至少存在一個x0,使f(x0)≥2成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

f(x)=
13
x3-ax2+(a-1)x

(1)若f(x)在x=1處 切線的斜率恰好為1,求a的值;
(2)若f(x)在(0,1)內遞減,求a的取值范圍;又若此時f(x)在x1處取極小值,在x2處取極大值,判斷x1、x2與0和1的大小關系.

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科目:高中數學 來源: 題型:

f(x)=-
1
3
x3+
1
2
x2+2ax

(1)若f(x)在(
2
3
,+∞)
上存在單調遞增區間,求a的取值范圍;
(2)當a=1時,求f(x)在[1,4]上的最值.

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