Question

設f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，當x∈（0，1）時取得極大值，當x∈（1，2）時取得極小值，則

b-3

a+2

的取值范圍為

（-∞，-3）∪（2，+∞）

．

Answer 1

分析：據極大值點左邊導數為正右邊導數為負，極小值點左邊導數為負右邊導數為正得a，b的約束條件，據線性規劃求出最值．

解答：解：∵f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+2b，
∵函數f（x）在區間（0，1]內取得極大值，在區間（1，2]內取得極小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1]和（1，2]內各有一個根，
f′（0）＞0，f′（1）≤0，f′（2）≥0
即

b＞0 a+2b+1≤0 a+b+2≥0

，
在aOb坐標系中畫出其表示的區域，如圖，

b-3

a+2

表示點A（-2，3）與可行域內的點B連線的斜率，
∵M（-1，0），∴k_AM=-3，
∵N（-3，1），∴k_AN=2，
結合圖象知

b-3

a+2

的取值范圍是（-∞，-3）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，-3）∪（2，+∞）．

點評：本題考查學生利用導數研究函數極值的能力，綜合性強，難度大，對數學思維能力要求較高，要求學生會進行簡單的線性規劃的能力．