Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，底面的邊長為2，側棱長為4，是線段上一點，是線段的中點，為的中點.以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系.

（1）若，求直線和平面所成角的正弦值；

（2）若二面角的正弦值為，求的長.

Answer 1

【答案】（1）（2）1或3.

【解析】分析：（1）求出與平面的法向量即可計算；

（2）設，則，用a表述出平面的一個法向量，而是平面的一個法向量，即可計算出a的值，從而可得答案.

詳解：根據題意得，，，

所以，，

（1）當是線段的中點時，，，

設平面的一個法向量為，

則，得，

即，取，得，

設和平面所成角為，

則 ，

所以和平面所成角的正弦值為.

（2）設，則，，

設平面的一個法向量為，

則，得，

即，取，得，

顯然是平面的一個法向量，

設二面角的大小為，則，

所以 ，

解得或3，所以的長為1或3.