Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=e^-x（x-1），給出以下命題：
①當x＜0時，f（x）=e^x（x+1）；　　　�、诤瘮礷（x）有五個零點；
③若關于x的方程f（x）=m有解，則實數m的取值范圍是f（-2）≤m≤f（2）；
④對?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立．
其中，正確命題的序號是________．

Answer 1

解：因為函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=e^-x（x-1），
設x＜0，則-x＞0，所以-f（x）=f（-x）=e^x（-x-1），即f（x）=e^x（x+1），故①正確；
對x＜0時的解析式求導數可得，f′（x）=e^x（x+2），令其等于0，解得x=-2，
且當x∈（-∞，-2）上導數小于0，函數單調遞減；當x∈（-2，+∞）上導數大于0，函數單調遞增，
x=-2處為極小值點，且f（-2）＞-1，且在x=1處函數值為0，且當x＜-1是函數值為負．
又因為奇函數的圖象關于原點中心對稱，故函數f（x）的圖象應如圖所示：
由圖象可知：函數f（x）有3個零點，故 ②錯誤；
若關于x的方程f（x）=m有解，則實數m的取值范圍是-1＜m＜1，故③錯誤；
由于函數-1＜f（x）＜1，故有對?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立，即④正確．
故正確的命題為①④．
分析：設x＜0，則-x＞0，由函數得性質可得解析式，可判①的真假，再由性質作出圖象可對其他命題作出判斷．
點評：本題考查奇函數的性質，由圖象作出函數的圖象是解決問題的關鍵，屬基礎題．