Question

【題目】函數f（x）=|x+3|+|x﹣1|，其最小值為t．
（1）求t的值；
（2）若正實數a，b滿足a+b=4，求證 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：解法1： ，由函數的圖象知最小值t=4

解法2：由絕對值三角不等式，得f（x）=|x+3|+|x﹣1|≥|（x+3）﹣（x﹣1）|=4，即t=4．

（2）證明：（解法1）基本不等式】a+b=4，所以 ，

當且僅當 ，即 時取等號．所以 ．

（解法2）柯西不等式】因為a+b=4，所以 ，∴ 當且僅當 ，即 時取等號．所以 ．

【解析】本題分兩個小題，（1）考查絕對值不等式，方法一運用不等式的定義進行化簡，使用數形結合思想求得最小值；方法二使用絕對值三角不等式，更加簡單明了。（2）考查不等式的證明，方法一給原式左邊乘以，展開后使用基本不等式求出最小值，從而證明。方法二使用柯西不等式，直接簡單。注意等號成立的條件。