Question

在x+的取值范圍內定義函數f(x)，使得f(x+)=x²+求f(x)的表達式及定義域.

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一：∵f(x+)=x2+＝（x+）2－2, ∴f(x)=x2－2,這里將x2+變形(配湊)為(x+)2－2可清楚地看出“程序”f是對“信息”先平方，再從結果中減去2，此法稱為“配湊法”.它需要較強的恒等變形能力. 方法二：令t=x+, ∵t2=(x+)2=x2++2, ∴x2+=t2－2于是f(t)=t2－2. ∴f(x)=x2－2. 這種方法稱為換元法，也是求函數解析式的方法，但要注意換元時兩個變量的取值范圍的等價性. ∵x+的取值范圍是x≠0時，t=x+的范圍為 （－∞，－2∪［２，＋∞］. ∴f(x)的定義域為：（－∞，－2∪［２，＋∞.

提示：

可以形象地把“f”理解為一種“程序”，對輸入來的“信息”，通過它輸出“訊號”，如f(x)=其“程序”f就是將“信息”x從1中減去，再取倒數(為此，勢必要求“信息”x≠1，否則1－x=0，將使這一步無法進行)，所以當已知f(x)的解析式求f(x+1)，f［f(x)］時，只須分別將x+1、f(x)代入f(x)的解析式即可.結合本題的已知條件和所求問題即可理解為：已知輸入“信息”是x+時，通過“程序”f輸出“訊號”x2+，問當輸入“信息”是x時，輸出“訊號”f(x)是什么? 解決問題的關鍵是要弄清楚“程序”f是怎樣對“信息”x+作用(施行了什么運算?)而得到輸出“訊號”x2+的.