Question

定義在上的單調函數滿足，且對任意都有

（1）求證：為奇函數；

（2）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：(1)這是抽象函數問題，要證明它是奇函數，當然要根據奇函數的定義，證明或，由此在已知式里設，從而有，因此我們還要先求出，這個只要設或者有一個為0即可得，故可證得為奇函數；（2）不等式可以利用為奇函數的結論，變形為，再利用函數的單調性去掉符號“”，轉化為關于的不等式恒成立問題，即對任意成立，這時還需要用換元法（設）變化二次不等式怛成立，當然不要忘記的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）證明：∵         ①

令，代入①式，得即

令，代入①式，得，又

則有即對任意成立，

所以是奇函數.                      4分

（Ⅱ）解：，即，又在上是單調函數，

所以在上是增函數.

又由（1）是奇函數.

，即對任意成立.

令，問題等價于對任意恒成立.   8分

令其對稱軸.

當時，即時，，符合題意；       10分

當時，對任意恒成立

解得                     12分

綜上所述，對任意恒成立時，

實數的取值范圍是：.                 13分

考點：(1)奇函數的定義；；（2）不等式恒成立問題.