Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）對求導，得到導函數等于0時的兩根，然后對兩根的大小以及結合的正負進行分類討論，得到導函數值的正負，然后得到原函數的單調區間

（2）對恒成立問題進行參變分離，得到，即求不等號右邊函數的最小值，從而得到的取值范圍.

（1）函數的定義域為，

1）當時，，所以函數在單調遞減，在單調遞增；

2）當時，，且方程有兩根-1，；

①當時，，所以函數在單調遞減、在，單調遞增；

②當時，，所以函數在，單調遞減、在單調遞增.

綜上，當時，函數在單調遞減、在單調遞增；

當時，函數在單調遞減、在，單調遞增；

當時，函數在，單調遞減、在單調遞增.

（2）函數恒成立，即，即，

設函數，則，令，解得，

所以函數在單調遞減，在單調遞增，所以函數的最小值

所以

所以的取值范圍是