Question

（07年遼寧卷理）（12分）

已知函數，．

（I）證明：當時，在上是增函數；

（II）對于給定的閉區間，試說明存在實數，當時，在閉區間上是減函數；

（III）證明：．

Answer 1

本小題主要考察二次函數，利用導數研究函數的單調性和極值，函數的最大值和最小值等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力。

解析：（I）證明：由題設得，。又由，且得，即。由此可知，在上是增函數。

（II）因為是為減函數的充分條件，所以只要找到實數k，使得t>k時，即在閉區間上成立即可。因為在閉區間上連續，故在閉區間上有最大值，設其為k，于是在t>k時，在閉區間上恒成立，

即在閉區間上為減函數。    

（III）設，即

，

易得

。

令，則，易知。當時，；當時，。故當時，取最小值，。所以

，

于是對任意的，都有，即。