Question

班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25名女同學，15名男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析.

（Ⅰ）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（只要求寫出算式即可，不必計算出結果）.

（Ⅱ）隨機抽出8位，他們的數學分數從小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分數從小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.

若規定85分以上（包括85分）為優秀，求這8位同學中恰有3位同學的數學和物理分數均為優秀的概率；

（2）若這8位同學的數學、物理分數對應如下表：

學生編號	1	2	3	4	5	6	7	8
數學分數x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分數y	72	77	80	84	88	90	93	95

 根據上表數據用變量y與x的相關系數或散點圖說明物理成績y與數學成績x之間是否具有線性相關性？如果具有線性相關性，求y與x的線性回歸方程（系數精確到0.01）；如果不具有線性相關性，請說明理由.

    參考公式：相關系數

    回歸直線的方程是：，

    其中對應的回歸估計值.

參考數據：

 

Answer 1

【答案】

（I）應選女生25×=5（個），男生15×=3（個），可以得到不同的樣本個數是.

（II）（1）;（2）y與x的回歸方程是.

【解析】本題考查線性回歸分析的初步應用，考查分層抽樣，考查條件概率，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查利用數學知識解決實際問題的能力，是一個比較好的綜合題目．

（1）從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析，做出女生和男生在總人數中所占的比例，用比例乘以要抽取的樣本容量，得到結果．

（2）①這是一個條件概率，在良好的條件下，兩科均為優秀，根據等可能事件的概率和相互獨立事件同時發生的概率做出一個學生兩科都良好的概率，和兩科都優秀的概率，利用條件概率公式得到結果．

②首先求出兩個變量的平均數，再利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，把做出的系數和x，y的平均數代入公式，求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結果．

解:（I）應選女生25×=5（個），男生15×=3（個），可以得到不同的樣本個數是.

（II）（1）這8位同學中恰有3位同學的數學和物理分數均為優秀，則需要先從物理的4個優秀分數中選出3個與數學優秀分數對應，種數是，然后剩下的5個數學分數和物理分數任意對應，種數是。根據乘法原理滿足條件的種數是

 這8位同學的物理分數和數學分數分別對應的種數共有.

 故所求的概率

（2）變量y與x的相關系數是r=.可以看出，物理與數學成績是高度正相關.若以數學成績x為橫坐標，物理成績y為縱坐標做散點圖

從散點圖可以看出這些點大至分布在一條直線附近，并且在逐步上升，

故物理與數學成績是高度正相關.

 設y與x線性回歸方程y=bx+a、

根據所給的數據，可以計算出

=0.65，a=85－0.65×77.5=34.63，

 所以y與x的回歸方程是.