Question

7、（山東卷文3）函數f（x）=log₂（3^x+1）的值域為（　�。�

A、（0，+∞）

B、[0，+∞）

C、（1，+∞）

D、[1，+∞）

Answer 1

分析：函數的定義域為R，結合指數函數性質可知3^x＞0恒成立，則真數3^x+1＞1恒成立，再結合對數函數性質即可求得本題值域．

解答：解：根據對數函數的定義可知，真數3^x+1＞0恒成立，解得x∈R．
因此，該函數的定義域為R，
原函數f（x）=log₂（3^x+1）是由對數函數y=log₂t和t=3^x+1復合的復合函數．
由復合函數的單調性定義（同増異減）知道，原函數在定義域R上是單調遞增的．
根據指數函數的性質可知，3^x＞0，所以，3^x+1＞1，
所以f（x）=log₂（3^x+1）＞log₂1=0，
故選A．

點評：本題考查了對數復合函數的單調性，復合函數的單調性知識點，高中要求不高，只需同學們掌握好“同増異減“原則即可；本題還考查了同學們對指數函數性質（如：3^x＞0）的掌握，這是指數函數求定義域和值域時常用知識．