Question

【題目】己知橢圓過點，，是兩個焦點．以橢圓的上頂點為圓心作半徑為的圓，

（1）求橢圓的方程；

（2）存在過原點的直線，與圓分別交于，兩點，與橢圓分別交于，兩點（點在線段上），使得，求圓半徑的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意結合橢圓性質可得，進而可得，即可得解；

（2）當直線斜率不存在時，；當直線斜率存在時，設直線方程為：， ，，聯立方程后利用弦長公式可得，由圓的性質可得，轉化條件得，可得，即可得解.

（1）設橢圓的焦距為，

由題意，，所以，，

故橢圓的方程為；

（2）當直線斜率不存在時，圓過原點，符合題意，；

當直線斜率存在時，設直線方程為：，，，

由直線與橢圓交于、兩點，

則，所以，，

則，

所以，

點到直線的距離，則 ，

因為，點在線段上，所以點在線段的延長線上，

只需即，

所以，

則

因為，

所以，所以，；

綜上，的取值范圍為.