解答:解:設直線a與平面α相交于點A,a在α內的射影直線為b,

設圓錐的頂點為A點,圓錐的軸AO⊥平面α,圓錐的軸截面為等腰
Rt△ABC,如圖所示.
可得圖中圓錐的任意一條母線與平面α所成角都等于45°,
設直線c為圓錐的一條母線所在直線,直線a、b確定的平面為β,
由直線與平面所成角的性質,可得當c落在平面β內時,
直線c與直線a所成角等于45°+15°或45°-15°,
當c與AB所在直線重合時,c與a所成角為60°;當c與AC所在直線重合時,c與a所成角為30°.
當直線c從AC的位置按順時針方向旋轉到AB位置時,a、c所成角從30°增大到90°,再減小到60°,
這個過程中必定有一個位置滿足c與a所成角為60°;
同理當直線c從AC的位置按逆時針方向旋轉到AB位置時,這個過程中也存在一個位置滿足c與a所成角為60°.
綜上所述,經過點A的直線c共有3條滿足c與a所成角為60°.
將滿足條件的直線c平移到使它經過空間的點P得到直線l,
根據異面直線所成角的定義,可得直線l與直線a所成角為60°,滿足條件的直線l有3條.
∴過點P作與α成45°、與a成60°的直線l可以作3條.
故選:B